[ — Закат Евpопы. Обрaз и дейcтвитeльнocть — ГЛАВА ПЕРВАЯ О СМЫСЛЕ ЧИСЕЛ]
[ПРЕДЫДУЩАЯ СТРАНИЦА.] [СЛЕДУЮЩАЯ СТРАНИЦА.]
В качестве ученья о наглядных величинах античная математика ставит себе целью исключительно истолкование наличных фактов и ограничивает, следовательно, свое исследование и пределы применимости предметами близлежащими и малыми. В противоположность этой последовательности, в практических приемах западной математики вскрывается нечто в высшей степени нелогическое; это обстоятельство, однако, стало известным только после открытия неэвклидовых геометрий. Числа суть чистые формы познающего духа. Их точная применимость к реально созерцаемому является, следовательно, самостоятельной проблемой. Совпадение математических систем с эмпирикой далеко не есть нечто само собой понятное. В противоположность предрассудку непосвященных (встречающемуся также у Шопенгауэра) о непосредственной математической очевидности созерцания, эвклидова геометрия, имеющая с популярной геометрией всех времен только самую поверхностную тождественность, в самых только узких пределах («на бумаге») приблизительным образом согласуется с созерцаемым. Как дело обстоит при больших расстояниях, видно из простого факта, что параллельные линии пересекаются на горизонте. Вся живописная перспектива основана на этом. Тем не менее Кант, беря исходной точкой наивное сравнение величин, совершенно непростительным для западного мыслителя образом уклонялся от «математики далеких пространств» и постоянно, совершенно по-античному, ссылался на маленькие фигуры, на примере которых, вследствие именно их незначительной величины, специфически западная проблема бесконечных как раз не находила себе никакого применения. Эвклид также избегал ссылаться для доказательства справедливости своих аксиом на пример такого треугольника, три вершины которого определялись бы местонахождением наблюдателя и двумя неподвижными звездами, и который, следовательно, не мог быть ни нарисован, «ни созерцаем»; это является, однако, вполне обоснованным для античного мыслителя. В нем действовало то же самое чувство, которое испытывало страх перед иррациональным и не дерзало понять ничто как нуль, как число, то чувство, которое при
125
созерцании космических отношений закрывало глаза на неизмеримое, чтобы сохранить символ меры.
Идеи Аристарха Самосского, около 270 г. начертавшего систему вселенной, при вторичном открытии Коперником так
глубоко взволновавшую метафизические страсти Запада —
стоит только вспомнить Джордано Бруно — и ставшую осуществлением огромных ожиданий и подтверждением того фаустовского, готического мироощущения, которое уже в архитектуре соборов принесло свою жертву идее бесконечного пространства, эти идеи были встречены античностью с полным равнодушием и вскоре — хочется сказать намеренно — были забыты. И действительно, Аристархова система вселенной для этой культуры в душевном смысле лишена значения. Она могла даже стать опасной для ее основной идеи. И все-таки, в отличие от Коперниковой — и этот основной факт оставлялся всегда без внимания — своей особой формулировкой она была точно приноровлена к античному мироощущению. Аристарх в качестве внешней границы космоса принимал телесно вполне ограниченный, оптически усвояемый пустой шар, в середине которого находится мыслимая в Коперниковом смысле планетная система. Таким образом был устранен принцип бесконечного, могший стать опасным для чувственно-античного понимания предела. Мы не встречаем в античности ни одного намека на мысль о бесконечности мирового пространства, каковая мысль, по-видимому, кажется в данном случае неизбежной и давно сделалась доступной вавилонскому мышлению. Даже мы видим обратное. Архимед в своем сочинении о «числе песка» — уже само слово указывает, что здесь мы имеем дело с опровержением всяких тенденций в сторону бесконечного, несмотря на что его все еще считают первым шагом на пути к современному интегральному счислению — доказывает, что это стереометрическое тело (так как Аристархов космос является именно таковым), будучи наполнено атомами (песком), приводит нас к очень большим, однако не бесконечным числовым результатам. Это равносильно отрицанию всего того, что мы называем анализом. Вселенная нашей физики зиждется на строгом отрицании всякой материальной ограниченности, как это доказывают постоянно опровергаемые и вновь навязчиво проникающие в умы теории материального, т. е. условно наглядного мирового эфира. Платон, Аполлоний и Архимед, несомненно самые проницательные и смелые математики древности, создали на основании пластически-античного понятия предела совершенную систему чисто оптического анализа ставшего. Они пользуются глубоко продуманными и малодоступными для
126
нас методами особого интегрального исчисления, имеющими
лишь кажущееся сходство с методом определенного интеграла
Лейбница, и применяют геометрические места точек и координаты, являющиеся определенными именованными размерами и протяженностями, в противоположность неименованным пространственным отношениям и значимости точек в зависимости от их положения в пространстве, как это мы встречаем у Ферма и в особенности у Декарта. Сюда относится в первую очередь метод истощения величин Архимеда, изложенный в недавно открытом его сочинении, обращенном к Эратосфену, в котором он выводит квадратуру сегмента параболы, прибегая к исчислению вписанных прямоугольников (а не к исчислению подобных многоугольников). Но как раз тот остроумный, бесконечно запутанный прием, при помощи которого он, следуя некоторым идеям Платона, достигает результата, осязательным образом вскрывает огромную разницу между этой интуицией и по внешности сходной с ней Паскалевой. Если не считать Риманова понятия интеграла, наиболее резкую противоположность его приему представляют собой наши современные (к сожалению, так до сих пор именуемые) квадратуры, причем в последнем случае значится, что «поверхность» ограничена функцией, и нет никакого намека на применение начертательного приема. Нигде обе математики не соприкасаются более близко и нигде не ощущается с большей очевидностью непреодолимая пропасть, разделяющая две души, выражением которых они являются.
Чистые числа, феномен которых древние египтяне, движимые страхом перед их таинственным происхождением, таили в стиле своих храмовых зал, пирамидах и рядах статуй, были также и для эллинов ключом к смыслу всего ставшего, неподвижного и, следовательно, преходящего. Математическое число в качестве формального основного принципа протяженного мира, который получает свое существование только из бодрствующего человеческого сознания и существует только для него, находится через посредство причинной необходимости в связи со смертью так же, как хронологическое число находится в связи со становлением, с жизнью, с необходимостью судьбы. Эта связь математической формы с концом органического существования, с явлением его неорганических остатков, т. е. трупа, все с большей очевидностью вскрывает перед нами происхождение всех больших искусств. Мы уже имели случай говорить о происхождении ранней орнаментики из погребального культа. Числа — символы преходящего. Неподвижные формы отрицают жизнь. Формулы и символы вводят неподвижность в картину природы. Числа убивают.
127
Матери «Фауста», величественно царят в одиночестве «в беспорядочных областях призраков», где
Образованье, преобразованье
И вечной мысли вечное дрожанье,
Вкруг образы всех тварей, словно дым.
(«Фауст», II ч. Пер. Фета).
Здесь Гёте сближается с Платоном в общем предугадывании какой-то последней тайны. Матери, недостижимое — идеи Платона — обозначают возможности духа, его не родившиеся формы, которые в видимом мире, образовавшемся с глубокой внутренней необходимостью из идеи этого духа, обрели свое проявление в виде творящей и созданной культуры, в виде искусства, мыслей, государства и религии. На этом основана родственность системы чисел известной культуры с ее идеей мира, и благодаря такому соотношению система чисел становится чем-то большим, чем только знание и познание, и приобретает значение мировоззрения, следствием чего является существование стольких же математик — миров чисел — сколько существует высоких культур. Только благодаря этому становится понятной причина и неизбежность того обстоятельства, что великие математические мыслители, художники в царстве чисел, отправляясь от религиозной интуиции, достигли открытия основных математических проблем своей культуры. Так следует рисовать себе сознание античного аполлоновского числа Пифагором, основавшим религию. То же исконное чувство руководило великим Николаем Кузанским, епископом Бриксенским, когда он около 1450 г., исходя из созерцания беспредельности Бога в природе, открыл основы исчисления бесконечных величин. Лейбниц, приведший два столетия спустя эту идею к завершению, сам исходил из чистого метафизического размышления о принципе божественного и его отношении к беспредельной протяженности и таким образом создал analysis situs, эту, пожалуй, более гениальную интерпретацию чистого, отвлеченного от всего чувственного, пространства, богатые возможности которой были использованы только в XIX в. Грассманом в его учении о протяженности и Риманном в его символике двухсторонних плоскостей, выражающих природу уравнений. Декарт, глубоко верующий христианин из кругов Пор-Руаяля, следуя внутреннему побуждению, попутно с философско-математическим преподаванием вернул в католичество пфальц-графиню Елизавету и шведскую королеву Христину, дочь Густава-Адольфа. Кеплер и Ньютон, оба строго
128
религиозные натуры, подобно Платону были вполне убеждены, что им удалось при посредстве чисел интуитивно познать сущность божественного мироустройства.
Принято говорить, что Диофант освободил античную
арифметику от ее чувственной связанности, расширив и раз-
вив ее, и создал алгебру, как учение о неопределенных величинах. Это во всяком случае не только обогащение, а полное преодоление античного мирочувствования, и одного этого факта достаточно, чтобы доказать, что Диофант внутренне уже не принадлежал к античной культуре. В нем действовало в отношении к действительному, ставшему новое ощущение чисел или, скажем, новое чувство предела, совершенно от личное от прежнего эллинского, из чувственно-осязательной значимости границ которого развились наряду с эвклидовой геометрией осязаемых тел также и подражавшая ей пластика нагой статуи. Подробности развития этой новой математики нам неизвестны. У Диофанта, из-за намерения следовать эвклидовскому ходу мыслей, вырастает это новое чувство предела — я буду называть его магическим, — даже еще не сознающее свою полную противоположность искомой античной формулировке. Идея числа как величины не расширяется, а незаметно упраздняется. Грек никогда не мог бы объяснить, что значат неопределенное число «а» или отвлеченное число 3, — оба не являющиеся ни величинами, ни мерами, ни протяжением. Новое воплощенное в этих родах чисел чувство предела уже лежит в основе рассуждений Диофанта; само же буквенное исчисление, в обличий которого фигурирует в настоящее время алгебра, претерпевшая за протекший промежуток времени еще одну полную переработку, было введено в употребление впервые Виетой в 1591 г. в качестве результата бессознательной, но вполне заметной оппозиции поддерживающемуся под античность счислению Ренессанса.
Диофант жил около 250 г. после Р.Х., следовательно в третьем столетии арабской культуры, исторический организм которой до сего времени скрывался под внешними формами эпохи Римской империи и «Средних веков»* и к кругу которой принадлежит все то, что возникло с начала нашего летосчисления в странах грядущего распространения ислама. Как раз в это время перед лицом нового ощущения пространства базилик, мозаик и саркофаговых рельефов
* См. табл. I–III.
129
раннехристианского-сирийского стиля померк последний признак аттической статуарной пластики. Тогда вновь образовались архаическое искусство и строго геометрический орнамент. Тогда Диоклетиан как раз заканчивал создание калифата под внешним видом римского государства. 500 лет разделяют Эвклида и Диофанта, Платона и Плотина, т. е. последнего завершающего мыслителя — Канта законченной культуры, от первого мистического гения — Данте вновь нарождающейся культуры.
Здесь в первый раз мы соприкасаемся с до сих пор остававшимся неизвестным проявлением тех великих индивидуумов, возникновение, возрастание и увядание которых под тысячеобразной спутывающей внешностью составляют собственную сущность всемирной истории. Ушедшая вместе с римским духом античная духовная стихия, «телом» которой являлась историческая действительность античной культуры с ее созданиями, мыслями, деяниями и обломками, родилась около 1100 г. до Р.Х. в местностях вокруг Эгейского моря. Пробивающаяся на востоке начиная с Августа под покровом античной цивилизации арабская культура имеет местом своего происхождения страны между Нилом и Ефратом, Каиром и Багдадом. В качестве проявлений этой новой души приходится рассматривать почти все «позднеантичное» искусство времен императоров, все охваченные юношеским пылом восточные культы, как-то: Митры, Сераписа, Гора, Исиды и Сирийских Ваалов Эмезы и Пальмиры, христианство и неоплатонизм, императорские форумы в Риме и построенный там сирийцем Пантеон, эту самую первую из всех мечетей.
То обстоятельство, что все еще продолжали писать по-гречески и полагали мыслить по-гречески, значит не больше другого аналогичного явления, а именно, что наука до Канта все еще предпочитала латинский язык, или что Карл Великий «возобновил» Римскую Империю.
У Диофанта число более не имеет значения меры или сути пластических вещей. На равеннских мозаиках человек более не тело. Постепенно греческие обозначения утратили свое первоначальное содержание. Мы покидаем сферу аттической??????????? стоической???????? и??????. Хотя Диофант и не знает еще нуля и отрицательных чисел, зато и пластические единства пифагорейских чисел ему также более уже незнакомы. С другой стороны, неопределенность арабских отвлеченных чисел представляет собою нечто совершенно отличное от закономерной изменчивости позднейшего западного числа, т. е. функции.
130
Магическая математика, т. е. алгебра, после Диофанта —
учение которого уже заставляет предполагать некоторое пред-
шествующее развитие — продолжала развиваться дальше логическим и широким движением, отдельные подробности которого остаются для нас неизвестными, и достигла своего завершения в эпоху Абассидов, около IX столетия, как это видно по уровню знаний у Альхваризми и Альсидшзи. И только опять по истечении целых пятисот лет, в совершенно новых, отдаленных странах, начинается новый величественный процесс перетолкования магического мира чисел, переданного нам испанскими арабами, в функциональный мир чисел Западной Европы, начинается мощное сопротивление против надвигающегося чуждого мирочувствования с его внутренне достигшим зрелости истолкованием пространства; юная готическая душа была вынуждена бороться против этого чуждого элемента и сломить его, чтобы сохранить свое подлинное, собственное, следствием чего явилась борьба во всех архитектурах, в каждом фасаде, каждом орнаменте, каждом символе, каждой метафизической и математической проблеме, та борьба, чье немое величие ни разу еще никем не было прочувствовано.
Какое значение рядом с Эвклидовой геометрией имеет аттическая пластика — равнозначащий язык форм в ином одеянии — или рядом с анализом пространства фугированный стиль инструментальной музыки, то же значение рядом с восточной алгеброй имеют магическое искусство мозаик, сассанидское искусство арабесок, позднее еще с большей пышностью развитое Византией, с его чувственно-отвлеченным слиянием мотивов органических форм, и, наконец, барельефы Константиновского стиля с их смутными тенями глубин оставленного свободным между изваянными фигурами фона. Как относится алгебра к античной арифметике и западноевропейскому анализу, так же относится купольная базилика к дорическому храму и готическому собору.
Диофант совсем не был великим математиком. Большей
части того, что связывается с его именем, мы не найдем в его
писаниях, а то, что там находится, конечно, не является его исключительной собственностью. Его случайное значение основано на том, что у него у первого, насколько нам известно, выступает с полной несомненностью это новое чувство чисел. По сравнению с мастерами, работавшими над завершением какой-либо математики, как, например, Аполлоний и Архимед в области античной и соответственно Гаусс, Коши, Риман в области западноевропейской математики, мы находим у Диофанта и Менелая что-то примитивное, что обыкновенно до
131
сих пор обозначали как декадентство. Со временем мы научимся лучше понимать и ценить это явление — подобно тому, как с недавнего времени перестают относиться презрительно к мнимому позднеантичному искусству, рассматривая его как попытку выражения только что нарождающегося раннеарабского мироощущения. Такой же архаической, примитивной и ищущей представляется математика Николая Оресмского, епископа г. Лизье (с 1323 по 1382 г.), применившего в первый раз на Западе свободный вид координат и даже степени с дробными показателями, указующие на несомненно новое, хотя еще неясное чувство чисел, совершенно не античное, но также отличное и от арабского. Если припомним, что рядом с Диофантом стоят раннехристианские саркофаги римских собраний, а рядом с Николаем Оресмским готические одетые статуи немецких соборов, то, несомненно, в обоих примерах хода математической мысли, отражающих одинаково раннюю ступень развития интеллекта, мы найдем нечто родственное. Стереометрическое чувство предела, достигшее у Архимеда высшей степени утонченности и элегантности, было утрачено. Преобладало смутное, устремленное к далекому, мистическое настроение, не имевшее ничего общего с аттической ясностью и свободой. Перед нами рожденные самой землей люди молодой страны, а не жители большого города, как Эвклид или д’Аламбер *. Глубокие и сложные образования античного мышления сделались непонятными, на место их выступили смутные и новые, для которых еще не найдена была ясная, по-городскому — интеллектуальная формулировка. Таково готическое состояние всякой юной культуры, пройденное также и античностью в раннедорическую эпоху, от которой ничего не осталось, кроме погребальных ваз дипилоновского стиля. Только в IX и Х вв. в Багдаде концепции эпохи Диофанта получили окончательную разработку и достигли завершения благодаря трудам зрелых мастеров, не уступающих по значению Платону и Гауссу.