Всемирно известный ученый-атеист доказал, что Бог есть

[Корректор]

Сергей_Ка. писал(а):

А что есть истина? :smile1:

В логике, для которой значение истинности суждений и умозаключений является одним из преимущественных предметов изучения, критерием истинности выступает логическая правильность и отсутствие противоречий.:smile1:

[Сергей_Ка.]

Корректор писал(а):

В логике, для которой значение истинности суждений и умозаключений является одним из преимущественных предметов изучения, критерием истинности выступает логическая правильность и отсутствие противоречий.:smile1:

Говно вопрос.
Как вам, может быть, известно, что согласно теоремам математической логики о принципиальных ограничениях формальной арифметики, а именно теоре́ме Гёделя о неполноте́ и втора́я теоре́ме Гёделя вытекает, что:
— если формальная арифметика непротиворечива, то в ней существует невыводимая и неопровержимая формула,
но
— если формальная арифметика непротиворечива, то в ней невыводима некоторая формула, содержательно утверждающая непротиворечивость этой арифметики.

В своей формулировке теоремы о неполноте Гёдель использовал понятие ω-непротиворечивой формальной системы — более сильное условие, чем просто непротиворечивость. Формальная система называется ω-непротиворечивой, если для всякой формулы A(x) этой системы невозможно одновременно вывести формулы А(0), А(1), А(2), … и ∃x ¬A(x) (другими словами, из того, что для каждого натурального числа n выводима формула A(n), следует невыводимость формулы ∃x ¬A(x)). Легко показать, что ω-непротиворечивость влечёт простую непротиворечивость (то есть, любая ω-непротиворечивая формальная система непротиворечива).

В процессе доказательства теоремы строится такая формула A арифметической формальной системы S, что[6]:

Если формальная система S непротиворечива, то формула A невыводима в S; если система S ω-непротиворечива, то формула ¬A невыводима в S. Таким образом, если система S ω-непротиворечива, то она неполна[~ 2] и A служит примером неразрешимой формулы.
Формулу A иногда называют гёделевой неразрешимой формулой.

Интерпретация неразрешимой формулы
В стандартной интерпретации[~ 3] формула A означает «не существует вывода формулы A», то есть утверждает свою собственную невыводимость в S. Следовательно, по теореме Гёделя, если только система S непротиворечива, то эта формула и в самом деле невыводима в S и потому истинна в стандартной интерпретации. Таким образом, для натуральных чисел формула A верна, но в S невыводима.

В форме Россера[править | править исходный текст]
В процессе доказательства теоремы строится такая формула B арифметической формальной системы S, что[9]:

Если формальная система S непротиворечива, то в ней невыводимы обе формулы B и ¬B; иначе говоря, если система S непротиворечива, то она неполна[~ 2], и B служит примером неразрешимой формулы.
Формулу B иногда называют россеровой неразрешимой формулой. Эта формула немного сложнее гёделевой.

Интерпретация неразрешимой формулы
В стандартной интерпретации[~ 3] формула B означает «если существует вывод формулы B, то существует вывод формулы ¬B». Согласно же теореме Гёделя в форме Россера, если формальная система S непротиворечива, то формула B в ней невыводима; поэтому, если система S непротиворечива, то формула B верна в стандартной интерпретации.

Обобщённые формулировки
Доказательство теоремы Гёделя обычно проводят для конкретной формальной системы (не обязательно одной и той же), соответственно утверждение теоремы оказывается доказанным только для одной этой системы. Исследование достаточных условий, которым должна удовлетворять формальная система для того, чтобы можно было провести доказательство её неполноты, приводит к обобщениям теоремы на широкий класс формальных систем. Пример обобщённой формулировки:

Всякая достаточно сильная рекурсивно аксиоматизируемая непротиворечивая теория первого порядка неполна.
В частности, теорема Гёделя справедлива для каждого непротиворечивого конечно аксиоматизируемого расширения арифметической формальной системы S.

Полиномиальная форма
После того, как Юрий Матиясевич доказал диофантовость любого эффективно перечислимого множества, и были найдены примеры универсальных диофантовых уравнений, появилась возможность сформулировать теорему о неполноте в полиномиальной (или диофантовой) форме:

Для каждой непротиворечивой теории T можно указать такое целое значение параметра K, что уравнение
&(elg^2 + \alpha — (b — xy) q^2)^2 + (q — b^{5^{60}})^2 + (\lambda + q^4 — 1 — \lambda b^5)^2 + \\
&(\theta + 2z — b^5)^2 + (u + t \theta — l)^2 + (y + m \theta — e)^2 + (n — q^{16})^2 + \\
&((g + eq^3 + lq^5 + (2(e — z \lambda)(1 + xb^5 + g)^4 + \lambda b^5 + \lambda b^5 q^4)q^4)(n^2 — n) + \\
&(q^3 — bl + l + \theta \lambda q^3 + (b^5-2)q^5)(n^2 — 1) — r)^2 + \\
&(p — 2w s^2 r^2 n^2)^2 + (p^2 k^2 — k^2 + 1 — \tau^2)^2 + \\
&(4(c — ksn^2)^2 + \eta — k^2)^2 + (r + 1 + hp — h — k)^2 + \\
&(a — (wn^2 + 1)rsn^2)^2 + (2r + 1 + \phi — c)^2 + \\
&(bw + ca — 2c + 4\alpha \gamma — 5\gamma — d)^2 + \\
&((a^2 — 1)c^2 + 1 — d^2)^2 + ((a^2 — 1)i^2c^4 + 1 — f^2)^2 + \\
&(((a + f^2(d^2 — a))^2 — 1) (2r + 1 + jc)^2 + 1 — (d + of)^2)^2 + \\
&(((z+u+y)^2+u)^2 + y-K)^2 = 0

не имеет решений в неотрицательных целых числах, но этот факт не может быть доказан в теории T. Более того, для каждой непротиворечивой теории множество значений параметра K, обладающих таким свойством, бесконечно и алгоритмически неперечислимо.
Степень данного уравнения может быть понижена до 4 ценой увеличения количества переменных.

Набросок доказательства
В своей статье Гёдель даёт набросок основных идей доказательства, который приведён ниже с незначительными изменениями.

Каждому примитивному символу, выражению и последовательности выражений некоторой формальной системы[~ 4] S поставим в соответствие определённое натуральное число[~ 5]. Математические понятия и утверждения таким образом становятся понятиями и утверждениями о натуральных числах, и, следовательно, сами могут быть выражены в символизме системы S. Можно показать, в частности, что понятия «формула», «вывод», «выводимая формула» определимы внутри системы S, то есть можно восстановить, например, формулу F(v) в S с одной свободной натурально-числовой переменной v такую, что F(v), в интуитивной интерпретации, означает: v — выводимая формула. Теперь построим неразрешимое предложение системы S, то есть предложение A, для которого ни A, ни не-A невыводимы, следующим образом:

Формулу в S с точно одной свободной натурально-числовой переменной назовём класс-выражением. Упорядочим класс-выражения в последовательность каким-либо образом, обозначим n-е через R(n), и заметим, что понятие «класс-выражение», также как и отношение упорядочения R можно определить в системе S. Пусть α — произвольное класс-выражение; через [α;n] обозначим формулу, которая образуется из класс-выражения α заменой свободной переменной на символ натурального числа n. Тернарное отношение x = [y;z] тоже оказывается определимым в S. Теперь определим класс K натуральных чисел следующим образом:

n∈K ≡ ¬Bew[R(n);n] (*)
(где Bew x означает: x — выводимая формула[~ 6]). Так как все определяющие понятия из этого определения можно выразить в S, то это же верно и для понятия K, которое из них построено, то есть имеется такое класс-выражение C, что формула [C;n], интуитивно интерпретируемая, обозначает, что натуральное число n принадлежит K. Как класс-выражение, C идентично некоторому определённому R(q) в нашей нумерации, то есть

C = R(q)

выполняется для некоторого определённого натурального числа q. Теперь покажем, что предложение [R(q);q] неразрешимо в S. Так, если предложение [R(q);q] предполагается выводимым, тогда оно оказывается истинным, то есть, в соответствии со сказанным выше, q будет принадлежать K, то есть, в соответствии с (*), будет выполнено ¬Bew[R(q);q], что противоречит нашему предположению. С другой стороны, если предположить выводимым отрицание [R(q);q], то будет иметь место ¬q∈K, то есть Bew[R(q);q] будет истинным. Следовательно, [R(q);q] вместе со своим отрицанием будет выводимо, что снова невозможно.

ЗЫ: по моему достаточно убедительно и непротиворечиво :smile1:

Связь с парадоксами
В стандартной интерпретации[~ 3] гёделева неразрешимая формула A означает «не существует вывода формулы A», то есть утверждает свою собственную невыводимость в системе S. Таким образом, A является аналогом парадокса лжеца. Рассуждения Гёделя в целом очень похожи на парадокс Ришара. Более того, для доказательства существования невыводимых утверждений может быть использован любой семантический парадокс.

Следует отметить, что выражаемое формулой A утверждение не содержит порочного круга, поскольку изначально утверждается только, что некоторая конкретная формула, явную запись которой получить несложно (хоть и громоздко), недоказуема. «Только впоследствии (и, так сказать, по воле случая) оказывается, что эта формула в точности та, которой выражено само это утверждение».

Вторая теорема Гёделя[/COLOR][/B]

В формальной арифметике S можно построить такую формулу, которая в стандартной интерпретации[~ 3] является истинной в том и только в том случае, когда теория S непротиворечива. Для этой формулы справедливо утверждение второй теоремы Гёделя:

Если формальная арифметика S непротиворечива, то в ней невыводима формула, содержательно утверждающая непротиворечивость
Иными словами, непротиворечивость формальной арифметики не может быть доказана средствами этой теории. Однако, могут существовать доказательства непротиворечивости формальной арифметики, использующие средства, невыразимые в ней.S.

Обратите внимание на последнее предложение:rtfm:

Набросок доказательства
Сначала строится формула Con, содержательно выражающая невозможность вывода в теории S какой-либо формулы вместе с её отрицанием. Тогда утверждение первой теоремы Гёделя выражается формулой Con ⊃ G, где G — Гёделева неразрешимая формула. Все рассуждения для доказательства первой теоремы могут быть выражены и проведены средствами S, то есть в S выводима формула Con ⊃ G. Отсюда, если в S выводима Con, то в ней выводима и G. Однако, согласно первой теореме Гёделя, если S непротиворечива, то G в ней невыводима. Следовательно, если S непротиворечива, то в ней невыводима и формула Con.

Опять таки, согласитесь, всё достаточно непротиворечиво.

:smile1:

[Анатолий]

Считаю спорить с атеистами бессмысленно,что-то им доказывать,пока они не побывают на краю гибели. А там все о Боге вспоминают.

[Ярослав]

Только безумец может верить в то, что неживое само по себе стало живым, что из ничтожной величины сама по себе возникла вселенная, что амёба за мифические миллиарды лет превратилась в человека…

[Корректор]

Считаю спорить с атеистами бессмысленно,что-то им доказывать,пока они не побывают на краю гибели. А там все о Боге вспоминают.

[Новик]

Твоя картинка, укр, с грамматическими ошибками. Когда будешь стряпать очередную фальшивку будь внимательнее.

[Корректор]

Новик писал(а):

Твоя картинка, укр, с грамматическими ошибками.

Картинка не может быть с грамматическими ошибками. Подумай над этим, путиноид.

Новик писал(а):

Когда будешь стряпать очередную фальшивку будь внимательнее.

Фальшивок я не делаю. А по грамматике я тебе фору дам, как спецу с двумя высшими. ))

[Автор]

Сообщения