[ — Закат Евpопы. Обрaз и дейcтвитeльнocть — ГЛАВА ПЕРВАЯ О СМЫСЛЕ ЧИСЕЛ]
[ПРЕДЫДУЩАЯ СТРАНИЦА.] [СЛЕДУЮЩАЯ СТРАНИЦА.]
Когда в пифагорейских кругах около 540 г. пришли к убеждению, что сущность всех вещей заключается в числах, тогда не только был сделан шаг вперед в развитии
119
математики, но родилась новая математика из глубин антично)
духовной стихии, и возникла сознательная теория, задолго
предвозвещенная в метафизических проблемах и поисках художественной формы. Это была совершенно новая математика наряду с навсегда оставшейся не написанной математиком египетской культуры и алгебраически-астрономически по строенной математикой вавилонской культуры с ее эклиптическими системами координат, математиками, однажды родившимися в великую минуту истории и в то время давно уже умершими. Пришедшая в дряхлость ко времени римлян античная математика умерла для живой жизни, несмотря на сохранившуюся в нашем способе выражаться до настоящей: времени видимость существования, чтобы много позднее и к иной далекой местности уступить место арабской; после тоге как и эта отжила свое время, через долгий промежуток времени, на смену ей явилось совершенно новое порождение новой почвы, наша математика, которую мы в странном ослеплении считаем математикой вообще, вершиной и целью двухтысячелетнего развития, но жизнь которой, строго ограниченная назначенными ей столетиями, также близится к своему окончанию.
Изречение, гласящее, что число составляет сущность всех
чувственно осязаемых вещей, осталось наиболее ценным положением античной математики. Оно определяет число как меру. В нем заключено все мироощущение души, страстно обращенной к настоящему и здешнему- Измерять в этом смысле — значит измерять что-либо близкое и телесное. Представим себе квинтэссенцию античного искусства, свободно стоящую статую нагого человека: в ней, при помощи плоскостей, меры и чувственного соотношения частей, исчерпывающе передано все существенное и значительное бытия, весь его этос. Пифагоровское понятие гармонии чисел, хотя, вероятно, и ведущее свое начало от — одноголосной — музыки, представляется как бы нарочно приспособленным к идеалу этой пластики. Обделанный камень лишь постольку и являет собой нечто, поскольку у него есть уравновешенные границы и измеренные формы, поскольку он получил осуществление под резцом художника. Без этого он только хаос, нечто еще не осуществленное, покамест еще ничто. Это ощущение, перенесенное в более обширные области, порождает в качестве противоположности хаосу космос, внешний мир античной души, гармонический распорядок всех заключенных в соответствующие границы осязаемо-наличных отдельных предметов. Сумма таких предметов и есть вселенная. Промежуток между ними, наше преисполненное всем пафосом высокого символа
120
мировое пространство есть ничто,??????. Протяженность для античных людей значит телесность, для нас — пространство, в котором отдельные предметы «являются» функцией. Обратив наш взгляд отсюда назад, мы, может, разгадаем глубочайшее понятие античной метафизики, а именно ’??????? Анаксимандра, слово, непереводимое ни на один из языков Запада; это то, что не имеет никакого числа в пифагорейском смысле, никаких измеряемых границ и величины, следовательно, не есть существо, а нечто безмерное и лишенное формы, статуя, еще не изваянная из куска камня. Это???? нечто лишенное оптических границ и формы, из которого только путем образования границ, разделения на чувственно самостоятельные предметы, возникает что-то, а именно мир. Таким образом, в основе античного познания в качестве априорной формы лежит телесность в себе, чему в Кантовой картине мира точно соответствует абсолютное пространство, исходя из которого Кант, по собственному признанию, мог «мысленно вывести все вещи».
Теперь становится понятным, в чем отличие одной математики от другой, в особенности античной от современной. Согласно всему своему мирочувствованию зрелое античное мышление могло видеть в математике только ученье о соотношении величин, мер и форм физических тел. Когда, руководствуясь этим ощущением, Пифагор изрек свою основную формулу, для него число было именно оптическим символом, не формой вообще или абстрактным отношением, но разграничивающим признаком ставшего, поскольку последнее проявляется в чувственно обозримых подробностях. Вся античность без исключения воспринимает числа как единицы меры, как величины, длины и поверхности. Другой род протяженности недоступен ее представлению. Вся античная математика в основе своей есть стереометрия. Эвклид, живший в III веке и приведший всю систему к завершению, говоря о треугольнике, с внутреннею необходимостью представляет себе поверхность, ограничивающую тело, но никогда не систему трех пересекающихся прямых линий или группу трех точек в пространстве трех измерений. Линию он определяет названием «длина без ширины»?????’???????. При нашем способе выражаться это определение показалось бы убогим. В границах античной математики оно превосходно.
И наше западное число, в противность мнению Канта и
даже Гельмгольца, не развилось из «априорной формы созерцания времени», но в качестве распорядка однообразных величин представляет собой нечто специфически пространственное. Время, как это станет понятным на основании
121
дальнейшего, не имеет ничего общего с математическими предметами. Числа принадлежат исключительно сфере протяженного. Но имеется столько же возможностей и, следовательно необходимостей систематически изобразить протяженность сколько имеется культур. Античное число не есть мышление о пространственных отношениях, но мышление об отграниченных для телесного глаза, осязаемых единицах. Поэтому античность — это вытекает с полной необходимостью — знает только естественные (положительные, целые) числа, которые среди многих в высшей степени абстрактных родов чисел западной математики, как-то: комплексных, гиперкомплексных, неархимедовских и иных систем, занимают обычное, ничем не выделяющееся положение.
Поэтому представление об иррациональных числах, или,
по нашему начертанию, о бесконечных десятичных дробях,
осталось для греческого духа совершенно недоступным. Эвклид говорит — и следовало бы точнее принимать смысл его слов, — что несоизмеримые расстояния относятся между собой «не как числа». Действительно, в законченном понятии иррациональных чисел лежит полное отделение понятия числа от понятия величины, причина этому та, что иррациональное число, например л, никогда не может быть отграничено или точно выражено при помощи известного расстояния. Из этого следует, что, например, в представлении об отношении стороны квадрата к его диагонали, античное число, представляющее собой, собственно, чувственную границу, замкнутую величину, и ничто иное, соприкасается с совершенно иной числовой идеей, в самой своей сути чуждой античному
мирочувствованию и поэтому жуткой, как будто бы речь идет
о том, чтобы открыть опасную тайну собственного существования. На это указывает позднегреческий миф, согласно которому тот, кто впервые извлек рассмотрение иррационального из сокровенности и предал его гласности, погиб при кораблекрушении, «так как невысказываемое и безобразное должно постоянно оставаться сокровенным». Кто поймет страх, лежащий в основе этого мифа — тот же страх, который постоянно удерживал греков зрелого времени от расширения их крохотных городов-государств в политически организованные страны, от устройства широких проспектов и аллей с далеким видом и рассчитанным завершением, от вавилонской астрономии с ее устремлением в бесконечные звездные пространства, от преодоления границ Средиземного моря и исследования путей, давно открытых кораблями египтян и финикиян, эту глубокую метафизическую боязнь перед преодолением осязательно-чувственного и настоящего, при помощи которого
122
античное существование окружило себя как бы защитной стеной, за пределами которой лежало что-то жуткое, бездна и первоисточник в известной мере искусственно созданного и утвержденного космоса, — кто поймет это чувство, тому станет понятным основная сущность античного числа, являвшего собой меру в противоположность неизмеримому, а также глубокий религиозный этос, выражающийся в этом ограничении. Гёте в качестве художника с большой страстностью усвоил себе, по крайней мере в своих естественно-исторических исследованиях, эту точку зрения; отсюда его, можно сказать, исполненная страхом полемика против математики, инстинктивно направленная главным образом, чего еще никто как следует не понял, против всей неантичной математики и лежавшего в основе современного ему естествознания счисления
бесконечно малых.
Античная религиозность с возрастающей определенностью
сосредоточивается на чувственно непосредственных — связанных с местом — культах, вполне отражающих это наделенное образом, всегда близкое, божество. Абстрактные, в бесприютных пространствах мышления витающие догматы всегда оставались ей чуждыми. Культ и догмат относятся друг к другу, как статуя к органу в соборе. В Эвклидовой математике, несомненно, остается что-то культовое. Достаточно припомнить учение о правильных многогранниках и их значение для эзотерики платоновской школы. Этому соответствует, с другой стороны, глубокое сродство анализа бесконечности начиная с Декарта с современной ему догматикой, устремляющейся к чистому, освобожденному от всяких чувственных отношений деизму. Вольтер, Лагранж и д’Аламбер современники. Из недр античного духа принцип иррационального, т. е. разрушение статуарного ряда целых чисел, этих представителей совершенного в себе миропорядка, воспринимали как некоего рода святотатство против божества. У Платона в «Тимее» это чувство выступает с полной очевидностью. Действительно, с превращением прерывающегося числового ряда в непрерывный, оказывается под вопросом не только античное понятие числа, но и весь античный мир. Становится понятным, что для античной математики совершенно невозможны легко укладывающиеся в наше представление отрицательные числа, не говоря уже о нуле как числе — обладающем для индийской души, впервые создавшей это понятие, вполне определенным метафизическим привкусом. Отрицательные величины не существуют. Выражение: -2? -3 =+6 не является ни наглядным, ни представлением величины. На +1 кончается ряд величин. В графическом
123
изображении отрицательных чисел (+3-,+2-,+1-,0-,-1-,-2-,-3,),
начиная с нуля расстояния вдруг становятся положительными символами чего-то отрицательного. Они обозначают
что-то, но уже не существуют реально. Отрицательные числа не величины, но что-то такое, на что величины только намекают. Осуществление этого акта отклоняется от линий направления античного числового мышления.
Все родившееся из античного духа становится действительностью только путем пластического отграничения. То, что нельзя нарисовать, — не «число». Платон, Архит и Эвдокс говорят о плоскостных и телесных числах, имея в виду нашу вторую или третью степень, и, само собой разумеется, что понятие высших целых степеней для них не существует. Четвертая степень для являющегося по существу своему пластическим чувства, которое тотчас же истолкует ее как протяженность в четырех измерениях, становится бессмыслицей. Постоянно встречающееся в наших формулах выражение е-ix, или даже применявшиеся уже в XIV столетие Оресмом обозначение 51/2 показалось бы античному чувству полным абсурдом. Эвклид называет множители произведения сторонами (???????). В древности оперируют с дробями — конечными само собою разумеется — прибегая к исследованию отношения двух отрезков прямой линии, выражающихся в целых числах. Именно поэтому идея числа нуль тут совершенно не может проявиться, так как графически она бессмысленна. Пусть не возражают, исходя из привычного способа мышления, что это только «первоначальная ступень» в развитии математики. Внутри того мира, который античность создала вокруг себя, античная математика есть нечто законченное. Незаконченной она представляется только нам. Вавилонская и индийская математики давно уже усвоили в качестве существенных элементов своего мира чисел многое из того, что с
точки зрения античного числового чувства являлось бы бессмысленным, и многие греческие мыслители знали об этом. Единая математика, повторяем это еще раз, есть иллюзия. Действительно только то, что адекватно ей, символически значительно для собственной душевной жизни. Только это представляется логически необходимым, все остальное невозможным, ошибочным, бессмысленным, или, как мы привыкли, руководясь гордостью исторического ума, называть «примитивным». Современная математика, одно из высших достижений западного духа — и во всяком случае «истинная» только для нас — показалась бы Платону смешным и бесплодным заблуждением и уклонением на пути к достижению «истинной», конечно, в античном смысле математики, и
124
трудно себе даже представить, сколько великих концепций чуждых культур погибло по нашей вине, так как мы, исходя из нашего способа мышления и заключенные в его границы, не могли их усвоить или, что то же, считали их ложными, излишними и бессмысленными.